Équation de la chaleur

En mathématiques et en physique théorique, l'équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles parabolique, introduite originellement en 1811 par Fourier pour décrire le phénomène physique de conduction thermique.



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En mathématiques et en physique théorique, l'équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles parabolique, introduite originellement en 1811 par Fourier pour décrire le phénomène physique de conduction thermique.

Équation de la chaleur

Soit \Omega \subset \mathbb Rˆ3 un domaine à bord \partial \Omega. Soit T (x, t) le champ de température sur ce domaine. En l'absence des sources thermiques[1] dans le domaine, l'équation de la chaleur s'écrit :


\forall \, x \, \in \, \Omega \, , \quad \frac{\partial T (x,t)}{\partial t} \ = \ D \ \Delta T(x,t) + \frac{P}{\rho C}

Δ est l'opérateur Laplacien, D est le cœfficient de diffusivité thermique et P une éventuelle production volumique de chaleur propre. Pour que le problème soit mathématiquement bien posé, il faut généralement spécifier :

  1. une condition initiale : \forall \, x \, \in \, \Omega \, , \quad T (x,0) \ = \ T_0(x)
 ;
  2. une condition aux limites sur le bord du domaine, par exemple :

Établissement de l'équation de la chaleur

Il existe plusieurs approches, par exemple le bilan pour un volume de contrôle. On suit ici un raisonnement s'appuyant sur la thermodynamique et la loi de Fourier.

Appliquons le premier principe de la thermodynamique à un volume τ de conducteur contenu à l'intérieur d'une surface Σ entre t et t + dt :

U (t + dt) − U (t) = δW + δQ

on considère ici un dispositif isochore donc δW = 0. Qui plus est ,

U(t) = \iiint_\tau \rho c T(t) \mathrm{d}\tau + f(V)

ρ est la masse volumique du matériau (en kg/m3), c la chaleur spécifique massique du matériau (en J/kg. K) et f (V) est une fonction du volume. Alors

U(t+\mathrm{d}t)-U(t)=\iiint_\tau \rho c (T(t+\mathrm{d}t)-T(t)) \mathrm{d}\tau = \iiint_\tau \rho c \frac{\partial T}{\partial t} \mathrm{d}t \mathrm{d}\tau

On a aussi, par définition de \vec{\jmath}_{Q} (vecteur densité de flux de chaleur) et de la densité volumique de source de chaleur par unité de temps P (en W/m3)  :

(note pour le signe : \vec{\jmath}_{Q} est positif lorsque le flux est vers l'extérieur, par conséquent la variation de chaleur est alors négative dans le volume)

\delta Q = - \left(\oint_{\Sigma} \vec\jmath_{Q}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\right)\mathrm{d}t+\left(\iiint_\tau P\mathrm{d}\tau\right)\mathrm{d}t

Avec le théorème de Green-Ostrogradsky on obtient :

\delta Q = - \left(\iiint_\tau \operatorname{div} \vec\jmath_{Q} \mathrm{d}\tau\right)\mathrm{d}t+\left(\iiint_\tau P\mathrm{d}\tau\right)\mathrm{d}t

donc :

\iiint_\tau \rho c \frac{\partial T}{\partial t} \mathrm{d}t \mathrm{d}\tau = - \iiint_\tau \operatorname{div}\vec\jmath_{Q} \mathrm{d}\tau \mathrm{d}t+\iiint_\tau P\mathrm{d}\tau \mathrm{d}t

or ceci est valable pour tout volume τ, donc :

\operatorname{div} \vec\jmath_{Q} = - \rho c \frac{\partial T}{\partial t} + P

En utilisant la loi de Fourier :

\vec\jmath_{Q} = - \lambda \overrightarrow\operatorname{grad}T

et le fait que :

\operatorname{div}\left(\overrightarrow\operatorname{grad}\right) = \nablaˆ2 = \Delta (laplacien)

on obtient :

-\lambda\Delta T= - \rho c\frac{\partial T}{\partial t} + P \Rightarrow \frac{\rho c}{\lambda}\frac{\partial T}{\partial t}-\Delta T=\frac{P}{\lambda}

ce qui est bien l'équation de la chaleur.

Enfin, en posant D = \frac{\lambda}{\rho c} (cœfficient de diffusion).

\frac{\partial T}{\partial t}=D\Delta T + \frac{P}{\rho c}

Autres phénomènes physiques

Il est intéressant de remarquer que l'équation de la chaleur, introduite originellement pour décrire la conduction thermique, apparaît aussi dans d'autres branches de la physique théorique. Elle permet par exemple de décrire :

Enfin, il existe un lien avec la mécanique quantique non-relativiste : l'équation de la chaleur apparait en effet comme une équation de Schrödinger en temps imaginaire. Loin d'être une simple curiosité, cette propriété autorise des développements intéressants, car il est fréquemment plus facile mathématiquement de travailler avec l'équation de la chaleur qu'avec l'équation de Schrödinger.

Généralisations

L'équation de la chaleur couvre naturellement :

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Bibliographie

Notes

  1. A titre d'exemple, une source radioactive qui serait positionnée à l'intérieur du domaine, ... Il est envisageable d'introduire de telles sources d'énergie locales en ajoutant un terme à l'équation ; cf. l'article conduction thermique.

autre démonstration (ENS)

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"Equation de la chaleur"

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