Conduction thermique

La conduction thermique est un mode de phénomène de transfert thermique génèré par une différence de température entre deux régions d'un même milieu, ou entre deux milieux en contact,...



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Transfert thermique - Loi en physique

La conduction thermique (ou diffusion thermique) est un mode de phénomène de transfert thermique génèré par une différence de température entre deux régions d'un même milieu, ou entre deux milieux en contact, et se réalisant sans déplacement global de matière[1] (à l'échelle macroscopique) par opposition à la convection qui est un autre transfert thermique. Elle peut s'interpréter comme la transmission de proche en proche de l'agitation thermique : un atome (ou une molécule) cède une partie de son énergie cinétique à l'atome voisin.

La conduction thermique est un phénomène de transport de l'énergie interne dû à une hétérogénéité de l'agitation moléculaire[2]. C'est par conséquent un phénomène irréversible. Dans les fluides (liquides et gaz) ce transport d'énergie résulte de la non uniformité du nombre de chocs par unité de volume, de façon analogue au phénomène de diffusion[2]. Dans les solides, la conduction thermique est assurée conjointement par les électrons de conduction et les vibrations du réseau cristallin (phonons) [3].

Généralités

Loi de Fourier

La conduction thermique est un transfert thermique spontané d'une région de température élevée vers une région de température plus basse, et obéit à la loi dite de Fourier établie mathématiquement par Jean-Baptiste Biot en 1804 puis expérimentalement par Fourier en 1822[4] : la densité de flux de chaleur est proportionnelle au gradient de température.

\overrightarrow{\varphi}= -  \lambda\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}(T)

La constante de proportionnalité λ est appelée conductivité thermique du matériau. Elle est toujours positive. Avec les unités du dispositif international, la conductivité thermique λ s'exprime en J. m-1. K-1. s-1 ou, soit des W. m-1. K-1.

La loi de Fourier est une loi semi-empirique analogue à la loi de Fick pour la diffusion de particule ou la loi d'Ohm pour la conduction électrique. Ces trois lois peuvent s'interpréter de la même façon : l'inhomogénéité d'un paramètre intensif (température, nombre de particules par unité de volume, potentiel électrique) provoque un phénomène de transport tendant à combler le déséquilibre (flux thermique, courant de diffusion, courant électrique).

Équation de la chaleur

Article détaillé : Équation de la chaleur.

Un bilan d'énergie, et l'expression de la loi de Fourier conduit à l'équation générale de conduction de la chaleur dans un corps homogène :

\lambda \Delta T + P = \rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t}

où :

(établissement de l'équation de conduction de la chaleur)

Sous forme unidimensionnelle et dans le cas où P est nulle, on obtient :

\lambda\, \frac{\partialˆ2 T}{\partial xˆ2} = \rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t}

En régime stationnaire, quand la température n'évolue plus avec le temps et si P est nul, elle se réduit à :

ΔT = 0

qui est une équation de Laplace. T est alors une fonction harmonique.

Dans le cas unidimensionnel, l'équation précédente se réduit à :

\frac{\partialˆ2 T}{\partial xˆ2} = 0

dont la solution est :

T = Ax + B,

où A et B sont des constantes à fixer selon les conditions aux limites.

Conduction en régime stationnaire

On définit un régime permanent (ou stationnaire) lorsque les températures ne dépendent pas du temps. La température ne dépend plus que de la disposition du point où on effectue la mesure et plus du temps. Pour toute la suite de ce chapitre, nous supposerons un régime permanent établi.

Surface plane simple

Le matériau est un milieu thermiquement conducteur limité par deux plans parallèles (cas d'un mur). Chaque plan a une température T homogène sur toute sa surface. On considère que les plans ont des dimensions illimitées pour s'affranchir des effets de bords. En conséquence le flux entrant est égal au flux sortant, il n'y a pas de pertes de chaleur sur les bords.

Profil de température dans un mur.

Notons T1 la température du plan localisé à l'abscisse x1, et T2 la température du plan localisé à l'abscisse x2. Notons e = x2x1 l'épaisseur du mur. En régime stationnaire, T est une fonction affine de x, d'où :

T = T_1 + \frac{x-x_1}{e}(T_2 - T_1)

La densité de flux thermique surfacique s'écrit :

\varphi= -\lambda \frac{dT}{dx} = \frac{\lambda}{e} (T_1-T_2).


Le flux thermique à travers une surface S vaut :

\Phi = \frac{\lambda S}{e} (T_1-T_2)

ou

\Phi = \frac{(T_1-T_2)}{\frac{e}{\lambda S}}
Ressemblance.

Ressemblance électrique

Par ressemblance avec l'électricité (loi d'Ohm) dans le cas spécifique où la surface de contact entre chaque matériau est constante (flux surfacique \varphi constant) nous pouvons mettre en parallèle les deux expressions :

U_1-U_2= RI\,
T_1-T_2= \frac{e}{\lambda S} \Phi\,

Nous pouvons mettre en parallèle d'une part la tension et la température, d'autre part l'intensité et le flux thermique :

U_1-U_2 \leftrightarrow T_1-T_2,
 I \leftrightarrow \Phi,

On peut définir alors une résistance thermique, jouant dans le transfert de chaleur un rôle comparable à la résistance électrique.

 R \leftrightarrow R_{thc}= \frac{e}{\lambda S}\,

S est la surface du matériaux et e son épaisseur. La résistance thermique Rthc est homogène à des K. W-1

Surfaces planes en série

Mur serie generalite.png

On considère des matériaux A B et C d'épaisseur respective eA, eB et eC et de conductivité radiative respective λA, λB et λC.

Les hypothèses sont semblables à celles d'une surface plane simple. On considère que le contact entre chaque couche est parfait ce qui veut dire que la température à l'interface entre 2 matériaux est semblable dans chaque matériau (Pas de saut de température au passage d'une interface).

Enfin la surface de contact entre chaque matériau est constante ce qui implique un flux surfacique \varphi constant.

Les résistances thermiques s'additionnent :

T_1- T_4= (\frac{e_A}{\lambda_A S}+ \frac{e_B}{\lambda_B S}+ \frac{e_C}{\lambda_C S}) \Phi\ = (R_{thA}+ R_{thB}+ R_{thC}) \Phi

Le profil des températures
Pour chaque matériau la variation de température suit une loi du type :

T= T_1- \frac{e_X}{\lambda_X S}\Phi\,

La variation de température est par conséquent linéaire dans l'épaisseur du matériau reconnu. La pente dépend de λ (conductivité thermique) caractéristique de chaque matériau. Plus la conductivité thermique sera faible (donc plus le matériau sera isolant) plus la pente sera forte.

Mur serie gradient.png

Ressemblance électrique
De la même manière que les résistances électriques en série s'additionnent, les résistances thermiques en série s'additionnent.

Mur serie analogie elec.png

Surfaces planes en parallèle

Mur parrallele.png

On considère des matériaux plans superposés côte à côte. Chaque matériau est homogène et limité par deux plans parallèles. C'est par exemple le cas d'un mur avec une fenêtre. Les hypothèses sont semblables à celles d'une surface plane simple. En supplément, on considère que la température est uniforme en surface de chaque élément (T1 et T2). Soit SA, SB et SC les surfaces respectives des éléments A, B et C.

Par la suite, on fait l'hypothèse que le flux est toujours perpendiculaire à la paroi composée ; ceci n'est pas réaliste puisque la température de surface de chaque élément qui la composent est différente et qu'il existe donc un gradient de température latéral (à l'origine des ponts thermiques). Aussi, il est indispensable de corriger le flux de chaleur calculé dans la paroi composée avec cœfficients de déperdition linéiques, spécifiques à chaque jonction de paroi (et pouvant être négligeables, cf. règlementation thermique TH 2000)

Les conductances thermiques s'additionnent :

C_{th}= \frac{1}{R_{th}} = \frac{1}{\frac{e_A}{\lambda_A S_A}}+\frac{1}{\frac{e_B}{\lambda_B S_B}}+\frac{1}{\frac{e_C}{\lambda_C S_C}} = \frac{1}{R_{thA}} + \frac{1}{R_{thB}} + \frac{1}{R_{thC}}

Ressemblance électrique

Il est par conséquent aussi envisageable de faire une ressemblance entre un montage électrique de résistances en parallèle.

Mur parrallele analogie elec.png
Mur parrallele analogie elec 2.png
I = (\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2}+ \frac{1}{R_3}) \Delta U\, \Phi = (\frac{1}{R_{th1}}+ \frac{1}{R_{th2}}+ \frac{1}{R_{th3}}) \Delta T\,

Surface cylindrique simple

Tube simple.png

Le tube simple est constitué d'un seul matériau homogène. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur illimitée pour s'affranchir des effets de bord.

La variation de température s'écrit :

\ T_1-T_2= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda L } \ln \frac{R_2}{R_1}

Surfaces cylindriques concentriques

Schéma d'un tube concentrique.

Le tube concentrique est constitué de tubes disposés en couches concentriques. On considère que le contact est parfait entre les tubes. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur L illimitée pour s'affranchir des effets de bord.

La résistance totale du tube s'exprime suivant une loi de type «série» comme le mur composé série :

\ R_{thT}= R_{thA} + R_{thB}

Conduction en régime dynamique

La résolution de l'équation de la chaleur en régime dynamique est bien plus délicate. Elle fait appel aux notions de transformées de Fourier, de produit de convolution et de distributions. Nous donnons quelques exemples de résolution.

Cas d'un domaine infini

Principe général

Ecrivons l'équation de la chaleur sous la forme :

\frac{\partial T}{\partial t} - D \Delta T = P

où D est le cœfficient de diffusivité thermique et P représente des sources de chaleur. P peut être une fonction du temps et de la position de la source de chaleur, mais également une distribution. A titre d'exemple, l'injection instantanée et ponctuelle d'une quantité de chaleur peut se représenter par le produit δ (t) δ (x) d'une distribution de Dirac à l'instant t = 0 par une distribution de Dirac en x = 0, x étant l'abscisse dans le cas d'un problème unidimensionnel ou le vecteur position dans le cas général.

On se donne aussi l'état d'origine du domaine T0 = T (0, x) , qui peut être aussi une fonction de x ou une distribution. On considère que T est nulle pour t < 0.

La méthode de résolution consiste à[5] [6] :

\frac{\partial F(T)}{\partial t} + D 4\piˆ2pˆ2F(T) = F(P)

où plutôt, au sens des distributions :

\frac{\partial F(T)}{\partial t} + D 4\piˆ2pˆ2F(T) = F(P) + F(T_0)\delta(t)

pour tenir compte de la condition d'origine.

(\frac{\partial \delta(t)}{\partial t} + 4\piˆ2Dpˆ2 \delta(t)) * F(T) = F(P) + F(T_0)\delta(t)

L'opérateur qu'on applique à F est un produit de convolution relatif à la variable t.

F (T) = F (P) * H (t) exp (− 4π2Dp2t) + F (T0) H (t) exp (− 4π2Dp2t)

Si F (P) est une fonction et non une distribution, cette relation devient, pour t > 0 :

F(T) = \int_0ˆt F(P)(\tau)\exp(- 4\piˆ2Dpˆ2(t-\tau)) d\tau + F(T_0)exp(- 4\piˆ2Dpˆ2t)

Cas spécifique

Propagation par conduction dans le plan à partir d'un point chaud. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point

Si on prend T0 = 0 et P = δ (t) δ (x) (injection instantanée de chaleur en un point donné), la méthode décrite ci-dessus conduit à :

F (P) = δ (t)

donc, pour t > 0 :

F (T) = exp (− 4π2Dp2t)

dont la transformée de Fourier inverse est , pour t > 0 :

 T = \frac{\exp(- \frac{xˆ2}{4Dt})}{2\sqrt{\pi tD}} dans le cas unidimensionnel.
 T = \frac{\exp(- \frac{rˆ2}{4Dt})}{8\sqrt{\pi tD}ˆ3} dans le cas tridimensionnel.

Domaine infini sans source de chaleur

Si on se donne uniquement la température d'origine T0 du milieu sans source de chaleur (P = 0), alors on trouve que :

T = \frac{1}{2\sqrt{\pi tD}} \int_{-\infty}ˆ{\infty} \exp(- \frac{(x - u)ˆ2}{4tD}) T_0(u)\, du dans le cas unidimensionnel.
T = \frac{1}{8\sqrt{\pi tD}ˆ3} \int_{\mathbb Rˆ3} \exp(- \frac{(r - s)ˆ2}{4tD}) T_0(r)\, dx_s dy_s dz_s dans le cas tridimensionnel.

Cas de domaines limités, sans source de chaleur

Cas d'un domaine limité par un plan. Le problème de Kelvin

Problème de Kelvin. L'axe des x est orienté vers la droite. Le demi-espace x>0, dont la température d'origine est T0, possède une frontière x=0 dont la température est constamment nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point

Supposons le domaine limité par le plan x=0. Si on se donne pour condition aux limites supplémentaire T (0, t) = 0 pour tout t, alors, il suffit de prolonger la répartition d'origine de température T0 par une fonction impaire en x et d'appliquer le résultat précédent.

Le cas le plus célèbre est celui du problème de Kelvin. Ce dernier a reconnu dans les années 1860 que la Terre était originellement à une température constante T0 de l'ordre de 3000° et qu'elle s'est refroidie par simple conduction. Utilisant la valeur actuelle du gradient de température selon la profondeur, il en a déduit une estimation de l'âge de la Terre. On peut appliquer la méthode de résolution précédente en considérant la Terre comme plate et illimitément profonde, limitée par le plan de sa surface. Le calcul conduit à :

T= \frac{T_0}{\sqrt{\pi t D}} \int_0ˆx \exp(- \frac{uˆ2}{4tD})\, du = T_0 \,{\rm erf}(\frac{x}{2\sqrt{Dt}})

où erf est dite fonction d'erreur de Gauss.

Le gradient de température à la surface est :

\frac{\partial T}{\partial x}= \frac{T_0}{\sqrt{\pi t D}}

Connaissant \frac{\partial T}{\partial x} de l'ordre de 3°C pour 100 mètres de profondeur et D estimé à 10ˆ{-6} \,mˆ2sˆ{-1}, on trouve que t vaut 100 millions d'années. Ce résultat est beaucoup sous-estimé car Kelvin ignorait les phénomènes de convection au sein du manteau terrestre[7] [8].

Cas d'un domaine limité par deux plans parallèles

Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine limité 0 < x < L. Les deux frontières du domaine sont maintenues à température constante. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point

Considérons un domaine limité par les deux plans x=0 et x=L. Supposons qu'on se donne comme conditions aux limites T (0, t) = T (L, t) = 0. On utilise une méthode de résolution basée sur les séries de Fourier, en cherchant T sous la forme :

T = \sum_{n=1}ˆ\infty b_n \sin(n\pi \frac{x}{L}) \exp(- \frac{Dnˆ2\piˆ2t}{Lˆ2})

Cette expression vérifie à la fois l'équation de la chaleur et les conditions aux limites. Si on se donne la répartition de température d'origine T0, il suffit de développer celle-ci en série de Fourier pour déterminer les bn.

A titre d'exemple, si on prend T0 constant, on obtient :

T = \frac{4T_0}{\pi} \sum_{n=0}ˆ\infty \frac{1}{2n+1} \sin(\frac{(2n+1)\pi x}{L}) \exp(- \frac{D(2n+1)ˆ2\piˆ2t}{Lˆ2})

En faisant tendre L vers l'infini, on retrouve la solution de Kelvin du paragraphe précédent, la somme précédente étant reconnue comme une somme de Riemann convergeant vers l'intégrale.

Cas d'un domaine à géométrie sphérique

Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine circulaire. Problème de Kelvin : la température d'origine est uniforme, la température sur le cercle frontière est maintenue nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point

Dans le cas où la propagation se fait dans un domaine sphérique, et où la température ne dépend que de la distance r au centre, l'équation de la chaleur devient, compte tenu de l'expression du laplacien en sphérique :

\frac{\partial T}{\partial t} = D(\frac{2}{r} \frac{\partial T}{\partial r} + \frac{\partialˆ2 T}{\partial rˆ2})

Si on pose F = rT, l'équation devient :

\frac{\partial F}{\partial t} = D \frac{\partialˆ2 F}{\partial rˆ2}

On peut alors appliquer les méthodes précédentes pour déterminer F, puis en déduire T en divisant par r.

Ainsi, la résolution du problème de Kelvin dans le cas d'une boule de rayon R (température d'origine uniformément égale à T0, la surface étant maintenue à une température nulle) conduit à l'expression suivante de T :

T(r,t) = 2T_0 \sum_{n=1}ˆ\infty (-1)ˆ{n+1} \, {\rm sinc}(n\pi \frac{r}{R}) \exp(- \frac{Dnˆ2\piˆ2t}{Rˆ2})

où sinc est la fonction sinus cardinal.

Cas de domaines limités, avec source de chaleur

On considère l'équation :

\frac{\partial T}{\partial t} - D \Delta T = P

avec P non nul. On cherche généralement une solution spécifique à cette équation, de manière à ce que, une fois retranchée à T, on puisse se ramener à une équation sans second membre. Voici quelques exemples, dans le cas où P représente une densité de source de chaleur constante, indépendante de la position et du temps.

Domaine limité par deux plans parallèles

Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine limité 0 < x < L. Le domaine est chauffé uniformément, alors que la température initiale est nulle, et que les deux bords restent à cette température nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point.

Considérons un domaine limité par les deux plans x=0 et x=L. On suppose qu'à l'instant d'origine, la température du domaine est égale à une température de référence nulle, et que les bords du domaine resteront en permanence à cette température nulle. T vérifie donc :

\frac{\partial T}{\partial t} - D \frac{\partialˆ2 T}{\partial xˆ2} = P
T (0, t) = T (L, t) = 0 pour tout t positif.
T (x, 0) = 0 pour tout x entre 0 et L.

La fonction \frac{Px(L-x)}{2D} indépendante de t vérifie les deux premières relations, de sorte que, si on pose G = T - \frac{Px(L-x)}{2D}, alors G vérifie :

\frac{\partial G}{\partial t} - D \frac{\partialˆ2 G}{\partial xˆ2} = 0
G (0, t) = G (L, t) = 0
G(x, 0) = - \frac{Px(L-x)}{2D}

On peut appliquer la méthode vue plus haut en cherchant G sous la forme d'une série :

G = \sum_{n=1}ˆ\infty b_n \sin(\frac{n\pi x}{L}) \exp(- \frac{nˆ2\piˆ2Dt}{Lˆ2})

qui vérifie les deux premières relations. Comme, pour des raisons de symétrie, on s'attend à ce que G (x) = G (Lx) , on peut supposer que les cœfficients bn sont nuls quand n est pair, de sorte que :

G = \sum_{n=0}ˆ\infty b_{2n+1} \sin(\frac{(2n+1)\pi x}{L}) \exp(- \frac{(2n+1)ˆ2\piˆ2Dt}{Lˆ2})

Pour t = 0, on a :

- \frac{Px(L-x)}{2D} = \sum_{n=0}ˆ\infty b_{2n+1} \sin(\frac{(2n+1)\pi x}{L})

On trouve les b2n + 1 en développant - \frac{Px(L-x)}{2D} en série de Fourier. On trouve :

b_{2n+1} = - \frac{4PLˆ2}{(2n+1)ˆ3\piˆ3D}

D'où G, puis finalement :

T = \frac{Px(L-x)}{2D} - \frac{4PLˆ2}{D\piˆ3} \sum_{n=0}ˆ\infty  \frac{1}{(2n+1)ˆ3} \sin(\frac{(2n+1)\pi x}{L}) \exp(- \frac{(2n+1)ˆ2\piˆ2Dt}{Lˆ2})

Quand t tend vers l'infini, la température du domaine tend vers \frac{Px(L-x)}{2D}, l'échauffement thermique dans le milieu étant alors en équilibre avec l'évacuation de la chaleur par les deux bords.

Domaine limité par un plan

Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine x > 0 limité par un bord. Le domaine est chauffé uniformément, tandis que la température d'origine est nulle, et que le bord reste à cette température nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point.

La résolution du même problème dans le cas où x>0 consiste à déterminer T tel que :

\frac{\partial T}{\partial t} - D \frac{\partialˆ2 T}{\partial xˆ2} = P
T (0, t) = 0 pour tout t positif.
T (x, 0) = 0 pour tout x > 0.

On peut obtenir la solution en faisant tendre L vers l'infini dans l'expression donnée dans le paragraphe précédent, en assimilant la série à une somme de Riemann. On obtient alors l'expression suivante :

T = - \frac{Pxˆ2}{2D} + \frac{Pxˆ2}{2D} \,{\rm erf}(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}) + \frac{Px\sqrt{t}}{\sqrt{D\pi}} \exp(- \frac{xˆ2}{4Dt}) + Pt \, {\rm erf}(\frac{x}{2\sqrt{Dt}})

erf est la fonction dite fonction d'erreur de Gauss. On peut aussi trouver cette expression en appliquant la méthode découlant du principe général relatif à un domaine infini, après avoir étendu à l'espace entier les fonctions T et P en des fonctions impaires en x, de manière à ce que T s'annule en x = 0.

Lorsque t tend vers l'infini, T vaut à peu près Pt, analogue à celle d'un domaine illimité. Le bord unique n'est pas suffisant pour évacuer la chaleur.

Domaine à géométrie sphérique

Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine à bord circulaire. Le domaine est chauffé uniformément, tandis que la température d'origine est nulle, et que le bord reste à cette température nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point.

Dans le cas d'un domaine dont le bord est une sphère de rayon R, on utilise l'expression du laplacien en sphérique et on est amené à résoudre :

\frac{\partial T}{\partial t} = D\left(\frac{2}{r} \frac{\partial T}{\partial r} + \frac{\partialˆ2 T}{\partial rˆ2}\right) + P
Pour tout t, T (R, t) = 0
Pour tout r, T (r, 0) = 0

En posant G = rT + \frac{rˆ3P - rRˆ2P}{6D}, G vérifie le dispositif :

\frac{\partial G}{\partial t} = D\frac{\partialˆ2 G}{\partial rˆ2}
Pour tout t, G (R, t) = 0
Pour tout r, G(r,0) = \frac{rˆ3P - rRˆ2P}{6D}

La méthode des séries de Fourier suggère de chercher G sous la forme d'une série \sum_{n=1}ˆ\infty b_n \sin(\frac{n\pi r}{R}) \exp(- \frac{nˆ2\piˆ2 Dt}{Rˆ2}), où les bn sont trouvés en développant \frac{rˆ3P - rRˆ2P}{6D} en série de Fourier. On obtient :

G = \frac{2P Rˆ3}{D\piˆ3} \sum_{n=1}ˆ\infty \frac{(-1)ˆn}{nˆ3} \sin(\frac{n\pi r}{R}) \exp(- \frac{nˆ2\piˆ2 Dt}{Rˆ2})

et donc :

T = \frac{Rˆ2P - rˆ2P}{6D} + \frac{2P Rˆ2}{D\piˆ2} \sum_{n=1}ˆ\infty \frac{(-1)ˆn}{nˆ2} {\rm sinc}(\frac{n\pi r}{R}) \exp(- \frac{nˆ2\piˆ2 Dt}{Rˆ2})

où sinc est la fonction sinus cardinal.

Lorsque t tend vers l'infini, la température T tend vers la répartition limite \frac{Rˆ2P - rˆ2P}{6D}.

Notes et références

  1. Pérez, page 153.
  2. Pérez, page 158
  3. Pérez, page 160.
  4. Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur, 1822 [détail des éditions] 
  5. L. Landau, E. Lifchitz, Physique théorique, mécanique des fluides, Mir-Ellipses, (1994)
  6. Laurent Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann, (1965)
  7. Une deuxième source d'erreur, plus marginale, provient du fait que Kelvin néglige aussi le terme de source d'énergie dû à la radioactivité. Voir England P, Molnar P, Richter F, Kelvin, Perry et l'âge de la terre, Pour la Science, février 2008, p. 32-37, traduit d'un article d'American Scientist
  8. Jean-Louis Le Mouël, Le refroidissement de la Terre, 196ème conférence de l'Université de l'ensemble des savoirs, 14 juillet 2000, [1] ou [2]

Voir aussi

Bibliographie

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